Устройство вещественных числел в Go

В Go существует 2 типа для выражения чисел с плавающей точкой.

// Диапазон: от -3.4028235e+38 до +3.4028235e+38
// В памяти: 4 байта.
type float32 float32

// Диапазон: от -1.7976931348623157e+308 до +1.7976931348623157e+308
// В памяти: 8 байт.
type float64 float64

// Диапазон: от -3.4028235e+38 до +3.4028235e+38
// В памяти: 4 байта.
type float32 float32

// Диапазон: от -1.7976931348623157e+308 до +1.7976931348623157e+308
// В памяти: 8 байт.
type float64 float64

Хранение числе с плавающей точкой, а также арифметические операции с ними в Go, реализованы по стандарту IEEE 754(a.k.a IEC 60559).

Основные составляющие числа с плавающей точкой в соответствии со стандартом:

• Знак числа (S): первый бит показывает положительное число или отрицательное.
• Экспонента (E): показатель степени, на которую умножается основание (в двоичном представлении это 2). Иными словами, экспонента определяет порядок числа: на сколько число большое или маленькое.
• Мантисса (M): часть числа, представляющая его значащие цифры. Иными словами точность числа.

Почему максимальное точно представимое целое для float32 = 2²⁴, хотя мантиса занимает 23 бита?

У float32 мантисса хранится в 23 битах, но реальная точность — 24 бита, так как по стандарту IEEE-754 автоматически добавляется скрытый старший бит = 1.

Важно понимать, что при превышении этого числа мы столкнемся с неожиданным поведением:

Что выведет данный код и почему?

fmt.Println(float32(16777216) == float32(16777217)) 

fmt.Println(float32(16777216) == float32(16777217)) 

1. Число 16 777 217 требует 25‑го бита, так как не помещается в мантиссу float32;
2. Оно будет округлено до числа ближайшего к данному, которое float32 может представить;
3. В нашем случае это будет 16777216

Рассмотрим еще один пример:

Что выведет данный код и почему?

fmt.Println(float32(16_777_216) == float32(16_777_219))

fmt.Println(float32(16_777_216) == float32(16_777_219))

1. Число 16 777 219 требует 25‑го бита, так как не помещается в мантиссу float32;
2. Оно будет округлено до числа ближайшего к данному, которое float32 может представить;
3. В нашем случае это будет 16 777 220

• E — реальная степень двойки числа
• 23 — количество явных бит мантиссы
• Скрытый бит добавляет 1 к точности, но на ULP влияет только экспонента

Что это обозначает на практике?

1. Чем больше E, тем больше шаг между числами
2. Каждый “новый бит” экспоненты удваивает шаг

Какие проблемы возникают при работе с вещественными числами, а также методы их решения мы рассмотрим в следующих разделах.